背包入门

背包笔记

大部分内容参考来自这篇文章^[1]和wiki上的内容^[2]。

01背包问题

题目:有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是v[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是最基础的背包问题，后面的背包问题都由01背包问题衍生。问题的特点是：每种物品仅有一件，只能选择放或不放。

如果这个问题采用枚举的思想，他的时间复杂度为$O(n^2)$，我们可以利用一张二维表记录数据，运用递推，这样时间复杂度就降低为$O(N*V)$

基本思路：用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。 具体来说就是我们就利用一张二位表，记录了整个题目中每一个问题的解答。

用一个例子来讲大致是什么

输入

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出

8

这个例子我们可以利用一张二维表来直观展示表示

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[1002],v[1002];
int f[1002][1002];
int main(){
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 1; j <= V; j++)
        {
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        } 
    }
    cout<<f[N][V];
    return 0;
}

对于这个代码的优化,其中时间复杂度基本已经不能再优化了，我们可以将他改为一维数组,这样空间复杂度却可以优化到O(V)。

注意改成一维数组后要从后往前逆序推，如果正推一个物品会取多次，这也是完全背包的解法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[1002],v[1002];
int f[1002];
int main(){
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = V; j >= v[i]; j--)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        } 
    }
    cout<<f[V];
    return 0;
}

总结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

完全背包问题

完全背包模型与 0-1 背包类似，与 0-1 背包的区别仅在于一个物品可以选取无限次，而非仅能选取一次。

我们可以借鉴 0-1 背包的思路，进行状态定义。其状态转移方程依然还是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。但其推到方式与0-1背包不同

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[1002],v[1002];
int f[1002];
int main(){
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = v[i]; j <=M ; j++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        } 
    }
    cout<<f[V];
    return 0;
}

多重背包问题

【题目描述】
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

【输入】
第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；
第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【输出样例】
12

可以用和01背包一样的方式，f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值，可以用k表示当前容量下可以装第i种物品的件数，那么k的范围应该是0≤k≤v/c[i]，既然要用当前物品i把当前容量装满那需要0≤k≤v/c[i]件，其中k表示件数。
状态转移方程为：f[i][v] = max{f[i-1][v],f[i-1][j - k * c[i]] + k * w[i]}(0<=k*c[i]<=v)

基于01背包问题的代码进行简单修改，我们可以写出

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[1002],w[1002];
int f[1002][1002];
int main(){
    int N,V;
    cin>>V>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>c[i]>>w[i];
    }
    for (int i = 1; i<=N; i++){
        for (int j = 1; j <= V; j++){
            for (int k = 0; k*c[i] <= j; k++){
                f[i][j] =max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]) ;
        //要么不取，要么取0件、取1件、取2件……取k件
            }
        }
    }
    cout<<f[N][V];
    return 0;
}

二进制分组优化

在朴素的做法中，一个一个枚举通常效率低下，因为在逐个枚举的过程中，出现了同时选了等效的问题，我们可以对数量进行二进制分组。

例子
6=1+2+3
8=1+2+3+1

index = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
  int c = 1, p, h, k;
  cin >> p >> h >> k;
  while (k - c > 0) {
    k -= c;
    list[++index].w = c * p;
    list[index].v = c * h;
    c *= 2;
  }
  list[++index].w = p * k;
  list[index].v = h * k;
}

单调队列优化

（不会，暂时空着）

混合背包问题

混合背包就是将前面三种的背包问题混合起来，有的只能取一次，有的能取无限次，有的只能取 次。

这种题目看起来很吓人，可是只要领悟了前面几种背包的中心思想，并将其合并在一起就可以了。

参考文献

1. 背包九讲 https://www.cnblogs.com/jbelial/articles/2116074.html ↩
2. OI-WIKI ↩