数字图像处理期末复习

数字图像基础

图像的获取与感知

图像的获取

图像通常使用感光传感器获取，感光传感器是一种能够将光信号转换为电信号的器件。常见的感光传感器有CCD和CMOS。

	CCD	CMOS
原理	电荷耦合器件	互补金属氧化物半导体
耗电量	高	低
价格	昂贵	便宜
速度	慢	快
噪声	低	高

图像的采样与量化

图像的采样是指对一张图片的坐标轴进行数字化，将连续的坐标轴转换为离散的坐标轴。
图像的量化是指对幅度值进行数字化，将连续的幅度值转换为离散的幅度值。

从连续图像的顶部开始，按照一定的间隔，取样点，得到一系列的采样点，这些采样点就是离散图像的像素点。
他的质量取决于一下几个因素：

• 样本数量（空间分辨率）
• 灰度级（灰度采样率）

图像采集系统

图像采集系统其实是一些列图像函数的映射变换步骤，分为一下几个步骤：

图像的表示

图像的表示有以下几种方式：

• 以(x,y,z)三元组表示
• 以矩阵表示
• 可视的灰度图像

灰度级是指图像中的灰度值的级别，灰度级越高，图像的质量越好。通常为2的指数次幂。
动态范围是指图像中最大灰度值与最小灰度值的比值。
对比度是指图像中最大灰度值与最小灰度值的差值。
空间分辨率是指图像中单位长度内的像素数目。通常用dpi表示。

像素间的关系

邻接关系

• $N_4(p)$邻接：上下左右
• $N_D(p)$邻接：对角线
• $N_8(p)$邻接：上下左右和对角线

V是用于定义邻接/连接关系的像素集合，V的元素称为像素的邻接元素。

• 4邻接：$V = {p_1, p_2, p_3, p_4}$
• 8邻接：$V = {p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6, p_7, p_8}$
• m邻接：$V = {p_1, p_2, \cdots, p_m}$ 先四路，四路不行再邻接

通路

从一个像素到另一个像素的路径称为通路。如果路径上的像素都是邻接的，那么这个路径称为邻接通路。

距离

• 曼哈顿距离：$d_4(p_1, p_2) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$
• 欧几里得距离：$d_2(p_1, p_2) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
• 切比雪夫距离：$d_8(p_1, p_2) = \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$

图像的计算

图像的计算是指对图像进行一些数学运算，常见的有：

• 加法
• 减法
• 乘法
• 除法

在计算时候，按照每张图像中的对应像素进行计算，例如

$$
f(x,y) + g(x,y) = h(x,y)
$$

对应的h(x,y)的矩阵中的每个元素都是f(x,y)和g(x,y)对应元素的和。

$$
\begin{bmatrix}
a_11 & a_12 \
a_21 & a_22
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
b_11 & b_12 \
b_21 & b_22
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
a_11 + b_11 & a_12 + b_12 \
a_21 + b_21 & a_22 + b_22
\end{bmatrix}
$$

例题

例题1

考虑图片所示的图像子集，

1. 令 $V = {0,1}$ ，计算p，q之间的4通路，8通路
2. 令 $V = {1,2}$ ,重新计算上述过程

$$
\begin{matrix}
&3 & 1 & 2 & 1 & <- q\
&2 & 2 & 0 & 2\
&1 & 2 & 1 & 1\
p->& 1 & 0 & 1 & 2\
\end{matrix}
$$

1. 该图没有4通路，有8通路，通路为：$p \to (1,1) \to (1,2) \to (2,3) \to (3,4) \to (4,4) \ to q$, 8通路下的距离为4，m通路下的距离为5

2. 该图有4通路，有8通路，通路为：$p \to (1,1) \to (1,2) \to (2,3) \to (3,4) \to (4,4) \ to q$, 8通路下的距离为4，m通路下的距离为5

懒得写问题了

图像增强与空间滤波

图像空间的点处理增强

灰度变换

灰度变换是指对图像的每个像素进行灰度值的变换，常见的灰度变换函数有：

• 图像求反 $s = L - 1 - r$
• 对数变换 $s = c \log(1 + r)$
• 幂次变换 $s = c \times r^{\gamma}$
• 分段线性变换 $s = \begin{cases} \frac{s_1}{r_1} r & 0 < r_1 \leq r_2 \ \frac{s_2-s_1}{r_2-r_1}[r-r_1] + s_1 & r_1 < r \leq r_2 \ \frac{L-1-s_2}{L-1-r_2}[r-r_2] + s_2 & r_2 < r \leq L-1 \end{cases}$
• 灰度切割 $s = \begin{cases} 0 & r < r_1 \ r & r_1 \leq r \leq r_2 \ 0 & r > r_2 \end{cases}$ 突出图像中的某个区域
• 位级操作 $s = r \oplus m$ 位级操作是指对图像的每个像素进行位级操作，常见的有与、或、非、异或等操作

直方图处理

• 令 $r_k$ 为图像中灰度值为k的像素数目，$n$为图像的总像素数目，$p_r(k) = \frac{r_k}{n}$为灰度值为k的像素的概率密度函数，$s_k = T(r_k)$为灰度值为k的像素的变换后的灰度值，$p_s(k)$为灰度值为k的像素的概率密度函数，$p_s(k) = \frac{s_k}{n}$

直方图均衡化

直方图均衡化是指将图像的直方图变换为均匀分布的直方图：

灰度变换函数 $s = T(r) = (L-1) \sum_{j=0}^{r} p_r(j)$

步骤

• 计算原始图像的直方图：首先，需要计算图像的直方图，即统计图像中每个像素值的频率。
• 计算累积分布函数（CDF）：基于直方图，计算累积分布函数。CDF 是直方图的一个累积版本，表示小于或等于某个像素值的像素占总像素的比例。
• 创建直方图均衡化映射：使用 CDF 来创建一个映射，该映射将原始图像的像素值映射到新的像素值，以此来均衡直方图。这通常通过将 CDF 的值线性映射到整个可用的像素值范围来实现。
• 应用映射到原始图像：将上一步得到的映射应用到原始图像的每个像素上，以生成新的像素值，从而得到直方图均衡化后的图像。

直方图规定化

直方图规定化是指将图像的直方图变换为指定的直方图：

步骤

• 计算原始图像的直方图，进行均衡化
• 计算目标图像的直方图，进行均衡化
• 将目标图像的均衡化直方图映射到原始图像的均衡化直方图上
• 整理映射函数，计算最后的直方图概率

空间滤波

空间滤波是指对图像的每个像素进行滤波操作。

滤波器由aka末班、窗口、核组层

• 核是一个矩阵，用于对图像进行滤波操作，大小定义了运算的领域，系数定义了滤波的方式
• 窗口是核在图像上滑动的区域
• 通常情况下，核的大小是奇数，窗口的大小是核的大小

空间滤波就是在待处理的图像中，逐点移动模板。对每个像素点的像素值，通过与其邻域像素值的加权和来进行处理，以达到图像平滑、锐化、边缘检测等目的。

常见的滤波器有：

平滑滤波器

• 线性平滑滤波器，核的矩阵为 $\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
• 非线性中值滤波器，

锐化滤波器

• 梯度算子法，Sobel算子，核的矩阵为 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ -2 & 0 & 2 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，Preiwitt算子，核的矩阵为 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• 拉普拉斯滤波器，核的矩阵为 $\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ -1 & 4 & -1 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

低通滤波器

低通滤波器主要用于处理图像边缘和噪声，常见的有：

• 理想低通滤波器：物理上无法实现，会出现振铃现象，图像会出现严重模糊
• 巴特沃斯低通滤波器：核的矩阵为 $\frac{1}{1 + (\frac{D(u,v)}{D_0})^{2n}}$，$D(u,v)$为频率域中的距离，$D_0$为截止频率，$n$为滤波器的阶数

高通滤波器

高通滤波器主要用于增强图像的边缘和细节

• 理想高通滤波器：物理上无法实现，会出现振铃现象，图像会出现严重模糊
• 巴特沃斯高通滤波器：核的矩阵为 $1 - \frac{1}{1 + (\frac{D(u,v)}{D_0})^{2n}}$，$D(u,v)$为频率域中的距离，$D_0$为截止频率，$n$为滤波器的阶数

图像变换与频域滤波

一维傅里叶变换

傅里叶变换是一种信号处理技术，用于将信号从时域转换到频域。傅里叶变换的基本思想是，任何一个周期信号都可以看作是一系列正弦波的叠加。

傅里叶变换基础

连续信号的傅里叶变换公式为：

$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$

其中，$F(\omega)$为频率域中的信号，$f(t)$为时域中的信号，$\omega$为频率

离散信号的傅里叶变换公式为：

$$
F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
$$

其中，$F(k)$为频率域中的信号，$f(n)$为时域中的信号，$k$为频率

傅里叶变换性质

图像复原基础

图像复原的基本概念

图像复原是指对图像进行去噪、去模糊、去伪影等操作，使图像更加清晰。
图像质量的下降被称为退化，图像复原的目的是消除或减轻图像的退化。

图像复原和图像增强的区别

1. 图像增强是指对图像进行处理，使图像更加美观，更加适合人类视觉，图像复原是指对图像进行处理，使图像更加清晰，更加适合机器视觉
2. 实现方式不同，图像增强更偏向主观判断，图像复原更偏向客观判断
3. 都是为了改善图片效果，便于后续处理

彩色图像处理

彩色图像的表示

彩色图像的表示有以下几种方式：

• RGB模型：RGB模型是将颜色分为红、绿、蓝三个通道，通过调节三个通道的亮度来调节颜色
• CMYK模型：CMYK模型是将颜色分为青、品红、黄、黑四个通道，通过调节四个通道的亮度来调节颜色
• HSI模型：HSI模型是将颜色分为色调、饱和度、强度三个通道，通过调节三个通道的亮度来调节颜色

彩色图像的增强

彩色图像的增强有以下几种方式：

• 直方图均衡化
• 直方图规定化
• 空间滤波

伪彩色图像

伪彩色图像是指将灰度图像转换为彩色图像，通过灰度在RGB频道上的映射，将灰度图像转换为彩色图像。